سنستعرض معًا أهم المعلومات المتعلقة بقواعد حساب المثلثات، الذي يُعتبر أحد أبرز فروع الرياضيات وأنواع الهندسة العامة. يرتكز هذا العلم على دراسة المثلثات والزوايا، فضلاً عن التوابع المثلثية مثل الجيب والجيب التمام.
تجدر الإشارة إلى أن المصريين القدماء كانوا السباقين في استخدام قوانين حساب المثلثات، حيث تم توظيفها في بناء الأهرامات والمعابد، في حين أن الإغريق وضعوا أول القوانين المتعلقة بمساحة الدائرة. ستتطرق هذه الموسوعة لإسهامات العلماء في تطوير هذا العلم، ونجاحاته في مختلف مجالات الحياة العملية، بالإضافة إلى شرح شامل لكافة القوانين المعنية.
محتويات
أهم المعلومات حول قوانين حساب المثلثات
- كلمة “حساب المثلثات” مشتقة من كلمة يونانية “trigonon”، والتي تعني المثلث وقياسه.
- علوم حساب المثلثات تدرس العلاقة بين زوايا وأضلاع المثلثات، وتُعتبر فرعًا مهمًا من الرياضيات.
- يتداخل حساب المثلثات مع دراسة الدوال المتعلقة بزوايا المثلث، مثل الجيب (جا)، وجيب التمام (جتا)، والظل (ظا).
- يهتم علم المثلثات بحساب الزوايا والمسافات بينها، ويتقاطع مع فروع رياضية أخرى مثل اللوغاريتمات والأعداد المركبة، إلى جانب علم التفاضل والتكامل.
- يعرف الجيب بأنه طول الضلع المقابل للزاوية القائمة، في حين أن جيب التمام هو النسبة بين الضلع المجاور لزاوية معينة ومستقيم الوتر في مثلث قائم الزاوية.
الأعلام البارزين في تطوير حساب المثلثات
- نصير الدين الطوسي: كان أول من جعل علم المثلثات علمًا مستقلًا عن علم الفلك، وشارك في تطوير الدوال المثلثية، وتمت ترجمة مؤلفاته في أوروبا.
- جيما فريزيوس: عالم رياضيات هولندي، ويُعد أول من أدخل طريقة التثليث التي تعتمد على قياس زوايا وأضلاع المثلث لإيجاد الإحداثيات والمسافات باستخدام قانون الجيب.
- ليونهارت أويلر: عالم رياضي سويسري ساهم في تطور تطبيق الأعداد المركبة في علم المثلثات.
- جيمس جريجوري: عالم رياضي سويسري آخر لعب دورًا بارزًا في تحسين المتسلسلات المثلثية.
ما هي استخدامات قوانين حساب المثلثات؟
تتمتع قوانين حساب المثلثات بالعديد من الفوائد وتُستخدم في مجالات متنوعة، مثل:
- تصنيع أجهزة التلفاز، ملاعب الكرة وأثاث المنزل.
- تدخل في بناء الطرق والمباني.
- مفيدة في حساب المسافات بين المدن والدول والقارات.
- تستخدم في علم الفلك وأبحاث الأقمار الصناعية.
- تسهم في صناعة المحركات.
ما هي قوانين حساب المثلثات؟
- جا (س) = المقابل / الوتر.
- جتا (س) = المجاور / الوتر.
- ظا (س) = جا (س) / جتا (س).
- ظتا (س) = 1 / ظا (س).
- ظتا (س) = جتا (س) / جا (س).
- قا (س) = 1 / جتا (س).
- قتا (س) = 1 / جا (س).
- جا² (س) + جتا² (س) = 1.
- قا² (س) = 1 + ظا² (س).
- قتا² (س) = 1 + ظتا² (س).
- جا (-س) = -جا (س).
- جتا (-س) = جتا (س).
- ظا (-س) = -ظا (س).
- جا (90 – س) = جتا (س).
- جتا (90 – س) = جا (س).
- ظا (90 – س) = ظتا (س).
- جا (90 + س) = جتا (س).
- جتا (90 + س) = -جا (س).
- ظا (90 + س) = -ظتا (س).
- جا (180 – س) = جا (س).
- جتا (180 – س) = -جتا (س).
- ظا (180 – س) = -ظا (س).
- جا (180 + س) = -جا (س).
- جتا (180 + س) = -جتا (س).
- ظا (180 + س) = ظا (س).
- جا (360 – س) = -جا (س).
- جتا (360 – س) = جتا (س).
- ظا (360 – س) = -ظا (س).
- جا (360 + س) = جا (س).
- جتا (360 + س) = جتا (س).
- ظا (360 + س) = ظا (س).
- جا (أ + ب) = جا (أ) + جتا (ب) + جتا (أ) + جا (ب).
- جا (أ – ب) = جا (أ) – جتا (ب) + جتا (أ) – جا (ب).
- جتا (أ + ب) = جتا (أ) جتا (ب) – جا (أ) جا (ب).
- جتا (أ – ب) = جتا (أ) جتا (ب) + جا (أ) جا (ب).
- ظا (أ + ب) = (ظا (أ) + ظا (ب)) / (1 – (ظا (أ) ظا (ب))).
- ظا (أ – ب) = (ظا (أ) – ظا (ب)) / (1 + ظا (أ) ظا (ب)).
- جا (أ + ب) جا (أ – ب) = جا² (أ) – جا² (ب) = جتا² (ب) – جتا² (أ).
- جتا (أ + ب) = جتا (أ – ب) = جتا² (أ) – جتا² (ب) = جا² (ب) – جا² (أ).
- ظا (45 + أ) = (1 + ظا (أ)) / (1 – ظا (أ)).
- ظا (45 – أ) = (1 – ظا (أ)) / (1 + ظا (أ)).
- 2 جا (أ) جتا (ب) = جا (أ + ب) + جا (أ – ب).
- 2 جتا (أ) جا (ب) = جا (أ + ب) – جا (أ – ب).
- 2 جتا (أ) جتا (ب) = جتا (أ + ب) + جتا (أ – ب).
- 2 جا (أ) جا (ب) = جتا (أ – ب) – جتا (أ + ب).